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1/(Cosx)^3的定积分

∫(1/(cosx)^3)dx=∫√(1+u^2)du(令u=tanx)=u√(1+u^2)-∫(u^2/√(1+u^2))du=u√(1+u^2)-∫((u^2+1)/√(1+u^2))-∫(1/√(1+u^2))du=u√(1+u^2)-∫√(1+u^2)du+arshu+C'所以∫√(1+u^2)du=1/2*u√(1+u^2)+arshu+C'即∫(1/(cosx)^3)dx=1/2tanxsecx+1/2ln|(1+sinx)/cosx|+C

(1-cosx)^3=(1-cosx)(1-cosx)^2=(1-cosx)(1-2cosx+(cosx)^2)=1-2cosx+(cosx)^2-cosx+2(cosx)^2-(cosx)^3=1-3cosx+3(cosx)^2-(cosx)^3 一个个来1、∫1dx=x2、∫3cosx dx=3sinx3、∫3(cosx)^2=3∫[(cos2x)+1]/2 dx=(3/4)∫(cos2x+1) d2x=(3/4)(sin2x+2x)4

这是书上的一道例题吧,分部积分∫ (secx)^3 du=∫ secx d (tanx)=secx*tanx-∫ (tanx)^2*secx dx = secx*tanx-∫ ((secx)^2-1)*secx dx = secx*tanx-∫ (secx)^3dx+∫ secx dx = secx*tanx-∫ (secx)^3dx+ln|secx+tanx|将-∫ (secx)^3dx移到左边与左边合并后,并除以2得∫ (secx)^3 dx=1/2*secx*tanx+1/2*ln|secx+tanx|+C

被积函数是关于原点对称的奇函数,f(-x)=-sinx^3*cosx^3,-f(x)=-sinx^3*cosx^3 所以∫(-π/2 -> π/2) (sinx^3*cosx^3)dx =0

∫(1/cosx)^3 dx=∫secx^3 dx=∫secx d(tanx)=∫√[1+(tanx)^2 ]d(tanx)=( tanx√[(tanx)^2 + 1] + ln|tanx+√[(tanx)^2 + 1]| )/2 +C 回答完毕 ^_^ 好像很复杂,但想不出其他方法了,不知道对你有没有帮助

打开括号求 ,其中cos x^3化成(1-sin x^2)dsinx

∫2secxdx=∫1/(1-sinx)d(sinx)+∫1/(1+sinx)d(sinx)=ln[(1+sinx)/(1-sinx)]=2ln[(1+sinx)/cosx]∫(1/cosx)^3dx=∫(secx)^3dx=∫secxd(tanx)=tanxsecx-∫tanxd(secx)=tanxsecx-∫(secxtanx^2)dx=tanxsecx-∫(secx^3-secx)dx=tanxsecx-∫(secx^3)dx+∫secxdx所以2∫(secx^3)dx=tanxsecx+ln[(1+sinx)/cosx]+C

1/(cosx)^3dx=1/,c1为任意常数 所以∫1/(cosx)^3dx=∫secx^3dx=∫secxdtanx=secxtanx-∫tanxdsecx(分部积分法) =secxtanx-∫tanxtanxsecxdx=secxtanx-∫(secx^2-1)secxdx =secxtanx-∫secx^3dx+∫secxdx 而∫secxdx=ln|secx+tanx|+c1(课本上的例题结论);2(secxtanx+ln|secx+tanx|)+c

(1-cosx)^3=(1-cosx)(1-cosx)^2=(1-cosx)(1-2cosx+(cosx)^2)=1-2cosx+(cosx)^2-cosx+2(cosx)^2-(cosx)^3=1-3cosx+3(cosx)^2-(cosx)^3一个个来1、∫1dx=x2、∫3cosx dx=3sinx3

万能代换t=tan(x/2),则x=2arctant,dx=2dt/(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2),所以∫dx/(cosx+3)=∫dt/(t^2+2)=1/√2*arctan(t/√2)+C=1/√2*arctan(tan(x/2)/√2)+C

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